Найти методом моментов по выборке точечную оценку неизвестного параметра лямбда

Добавил пользователь Дмитрий К.
Обновлено: 19.09.2024

Для оценивания неизвестных параметров статистических распределений наравне с методом наибольшего правдоподобия используют метод моментов.

Суть метода: выразить числовые параметры теоретического распределения через моменты распределения, оценненные по выборки. Число моментов должно соответствовать числу неизвестных параметров распределения (чаще всего используют первые два момента). После вычисления приравниваем теоретические и выборочные моменты друг к другу и выражаем оценки параметров.

Данный метод прост в в реализации, дает неплохие оценки и удобен для отработки навыков. Про свойства оценок: состоятельность оценок выполняется при непрерывной зависимости от параметра, асимптотическая эффективность оценок, полученных по ММП всегда лучше чем у ММ, оценки по ММ чаще всего смещенные (требуется проверка).

Примеры нахождения оценок по методу моментов для разных распределений вы найдете ниже. Удачи!

Примеры решений

Пример 1. Число семян сорняков в пробах зерна подчинено закону Пуассона. Имеется выборка проб зерна. Результаты записаны в таблице Т1. Найти параметр $\lambda$ по выборке методом моментов.

Пример 2. При условии равномерного распределения случайной величины $Х$ произведена выборка
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
21 16 15 26 22 14 21 22 18 25
Найти оценку параметров $a$ и $b$ по методу моментов.

Пример 3. Найти методом моментов по выборке $x_1, x_2, . x_n$ точечную оценку параметра $p$ биномиального распределения $P_m(x_i)=C_^ p^ (1-p)^$, где $x_i$ - число появлений события в $i$-ом опыте ($i=1,2. n$), $m$ - количество испытаний в одном опыте.

Пример 4. Найти методом моментов по выборке $x_1, x_2, . x_n$ точечные оценки неизвестных параметров $a$ и $\sigma$ нормального распределения.

Пример 5. Пусть случайная величина $\xi$ имеет плотность $p(x)=1/(b-a)$, если $x\in(a;b)$, и $p(x)=0$, иначе. Произведена выборка. Используя метод моментов, найти $a$ и $b$.

Теория по методу моментов

Хотите немного больше знать о теоретических основах метода моментов для чайников? Материалов в интернете к сожалению не так много, подойдут классические учебники по математической статистике и конечно же лекция Черновой Н. по методу моментов с теоретическими основами и примерами решений.

Примеры нахождения оценок по методу моментов для разных распределений вы найдете ниже. Удачи!

Примеры решений

Теория по методу моментов

Метод моментов, предложенный английским статистиком Карлом Пирсоном в 1894 г., заключается в приравнивании определенного числа выборочных моментов к соответствующим теоретическим, которые являются функциями неизвестных параметров Рассматривая количество моментов, равное числу к неизвестных параметров, подлежащих определению, и решая полученные уравнения относительно этих параметров, получаем искомые оценки. Иначе говоря, оценки параметров являются решениями систем уравнений или , для некоторых

Метод моментов содержит неопределенность, поскольку можно получить уравнения для неизвестных параметров , используя как начальные, так и центральные моменты, а также некоторые их модификации типа асимметрии или эксцесса.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Пример:

Функция

задает плотность распределения Рэлея (см. § 6.4). Требуется оценить параметр по выборке

Найдем оценку параметра 0, приравнивая начальные выборочные и теоретические моменты. Первый начальный момент

имеет вид: Приравнивая, получаем первую оценку параметра:

Приравнивая вторые начальные моменты, можем получить другую оценку: из уравнения, которое получитсяся при использовании второго центрального момента (дисперсии), — третью оценку:

Часто полагают, что для нахождения оценки одного параметра следует брать первый момент, для двух — первые два момента и т.п. По возможности действительно имеет смысл поступать так, поскольку это проще всего. Однако такой подход годится не всегда. Он не проходит, например, если некоторые моменты равны нулю или не зависят от нужных параметров.

В общем случае система уравнений для моментов может не иметь решения в элементарных функциях (и тогда можно искать решение приближенными методами) или вообще оказаться неразрешимой (несовместной).

Оценки, полученные методом моментов, часто оказываются смешенными. К достоинствам метода моментов следует отнести его простую вычислительную реализацию, а также то, что оценки являются функциями от выборочных моментов.

В силу теоремы Слуцкого любая непрерывная функция от выборочных моментов функции сходится по вероятности к постоянной, получаемой подстановкой в эту функцию теоретических моментов, если они существуют и если получаемая таким образом постоянная конечна. Для определенности рассмотрим функцию от двух моментов (начальных или центральных), хотя ее можно обобщить на любое конечное число аргументов, в том числе и на случай, когда Н зависит только от одного аргумента.

Теорема 1. (Крамера). Пусть в некоторой окрестности точки функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядка:

Тогда для любой выборки, по которой найдены оценки , случайная величина асимптотически нормальна при следующими параметрами:

Иногда оценки, получаемые с помощью метода моментов, принимаются в качестве первого приближения, по которому можно построить другими методами оценки более высокого качества.

Оценки метода моментов используются также, когда существует необходимость оценить не сами параметры распределения (которые часто представляют собой некие абстракции), а определенные практически значимые показатели, зависящие от этих параметров функционально: . Самый простой (хотя и не самый точный) способ такого оценивания — подставить полученные оценки в соответствующую функцию:

Если распределение определяется одним параметром, то для построения оценки один теоретический момент приравнивают к одному эмпирическому моменту того же порядка (обычно первого).

Найдите сумму цифр наименьшего значения n , если при делении n на m^3” (n € N, m € N) в неполном частном получается 2, а в остатке 31.

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА. НУЖНО СРОЧНО. В магазин привезли 700 ящиковмандаринов по 12 кг в каждом. После того,как часть мандаринов продали, осталось300 кг. … Сколько килограммов мандариновпродали?

чтобы сварить персиковый компот нужно на каждые 150 г сахара добавить 300 г персиков сколько персиков надо взять для 1350г сахара? С РЕШЕНИЕ ПОЖАЛУ … ЙСТА!! СРОЧНО

Здравствуйте, помогите решить нестандартную задачу, это задали в 6 классе человеку, кумуляту даже в вузе не изучали в России, есть пара вариантов реше … ния, но может кто-то знает как это решать? По переводу примерно следующее: кумулятивная частота показывает количество часов, которое группа людей проводит за рулем каждую неделю. Найти среднее кол-во часов вождения по ответам внизу

Задача про скидку Марина выбрала в магазине юбку за 1000 р и футболку за 800 р. На кассе она узнала, что сегодня на всю одежду скидка 20%. Сколько руб … лей составит стоимость покупки с учётом скидки?

Помогите пжпж!! ДАМ 55 БАЛЛОВ! Какие числа надо вписать в окошки, чтобы равенство стало верным? Запишите в ответ цифры без запятых, пробелов и других … дополнительных символов. дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: ?, знаменатель: ? конец дроби . Ответ: 2 Задание 2 Какое число нужно написать в числителе, чтобы равенство стало верным? дробь: числитель: 8, знаменатель: 36 конец дроби = дробь: числитель: ?, знаменатель: 9 конец дроби $ Ответ: 3 Задание 2 Какое число нужно написать в числителе, чтобы равенство стало верным? дробь: числитель: 9, знаменатель: 27 конец дроби = дробь: числитель: ?, знаменатель: 3 конец дроби Ответ: 4 Задание 2 Какое число нужно написать в числителе, чтобы равенство стало верным? дробь: числитель: 14, знаменатель: 63 конец дроби = дробь: числитель: ?, знаменатель: 9 конец дроби Ответ: 5 Задание 2 Какое число нужно написать в числителе, чтобы равенство стало верным? дробь: числитель: 10, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: ?, знаменатель: 5 конец дроби Ответ: 6 Задание 2 Сколько минут в дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ч? Ответ: 7 Задание 2 Сколько минут в дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ч? Ответ: 8 Задание 2 Сложите дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби числа 40 и дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби числа 60. В ответе напишите полученный результат. Ответ: 9 Задание 2 Из дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби числа 72 вычтите дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби числа 81. В ответе напишите полученный результат. Ответ: 10 Задание 2 Треть числа равна 27. Найдите это число. Ответ: 11 Задание 2 Три четверти числа равны 60. Найдите это число. Ответ: 12 Задание 2 Сколько минут в дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ч? В ответе укажите только число. Ответ: 13 Задание 2 Сложите дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби числа 20 и дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби числа 18. В ответе напишите полученный результат. Ответ: 14 Задание 2 Из дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби числа 56 вычтите дробь: числитель: 3, знаменатель: 11 конец дроби числа 33. В ответе напишите полученный результат. Ответ: 15 Задание 2 Представьте число 4 в виде дроби со знаменателем 7. Ответ: 16 Задание 2 Представьте число 3 в виде дроби с числителем 21. Ответ: 17 Задание 2 Даны четыре числа: 1 дробь: числитель: 5, знаменатель: 16 конец дроби ; дробь: числитель: 21, знаменатель: 11 конец дроби ; дробь: числитель: 19, знаменатель: 16 конец дроби ; 1 дробь: числитель: 8, знаменатель: 11 конец дроби . Запишите в ответ самое большое из данных чисел. Ответ: 18 Задание 2 Даны четыре числа: 1 дробь: числитель: 8, знаменатель: 17 конец дроби ; дробь: числитель: 20, знаменатель: 17 конец дроби ; дробь: числитель: 25, знаменатель: 13 конец дроби ; 1 дробь: числитель: 7, знаменатель: 13 конец дроби . Запишите в ответ самое большое из данных чисел. Ответ: 19 Задание 2 Представьте в виде смешанного числа выражение дробь: числитель: 17, знаменатель: 7 конец дроби плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби . Ответ: 20 Задание 2 Представьте в виде смешанного числа выражение дробь: числитель: 37, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: 9 конец дроби . Ответ: 21 Задание 2 Представьте в виде смешанного числа выражение дробь: числитель: 45, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: 26, знаменатель: 7 конец дроби . Ответ: 22 Задание 2 Найдите значение выражения дробь: числитель: 58, знаменатель: 9 конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби . Ответ: 23 Задание 2 Представьте число 4 в виде дроби со знаменателем 6. Ответ: 24 Задание 2 Представьте число 5 в виде дроби с числителем 35. Ответ: 25 Задание 2 Представьте в виде смешанного числа выражение дробь: числитель: 27, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 7 конец дроби . Ответ: 26 Задание 2 Представьте в виде смешанного числа выражение дробь: числитель: 45, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: 26, знаменатель: 7 конец дроби . Ответ: 27 Задание 2 Представьте число 8 в виде дроби со знаменателем 6. Ответ: 28 Задание 2 Запишите число 9 в виде дроби со знаменателем 7. Ответ: 29 Задание 2 Представьте в виде неправильной дроби число 2 дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби . Ответ: 30 Задание 2 Найдите значение выражения дробь: числитель: 47, знаменатель: 9 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби . Ответ:

Найдите наименьшее пятизначное число, которое делится на 45, а все цифры этого числа являются чётными.

Случайная величина X (ошибка измерения дальности радиодальномером) подчинена равномерному закону распределения с неизвестными параметрами a и b. Ниже приведено эмпирическое распределение средней ошибки n=200 измерений дальности (в первой строке указана средняя ошибка x_i; во второй строке указана частота n_i - количество измерений, имеющих среднюю ошибку x_i):

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров a и b равномерного распределения.

Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в n=327 испытаниях (в первой строке указано число x_i появлений события; во второй строке приведена частота n_i - количество испытаний, в которых появилось x_i событий):

Случайная величина X (число появлений события A в m независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром p. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события A в 1000 испытаниях (в первой строке указано число x_i появлений события в одном опыте из m=10 испытаний, во второй строке приведена частота n_i - число опытов, в которых наблюдалось x_i появлений события A):

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра p биномиального распределения.

Случайная величина X (число появлений события A в m независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром λ:

где m – количество испытаний в одном опыте, x_i – число появлений события в i-ом опыте (i=1,2,3,…,n). Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x₁, x₂,…, x_n точечную оценку неизвестного параметра λ распределения Пуассона.

Случайная величина X (число поврежденных стеклянных изделий в одном контейнере) распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром λ. Ниже приведено эмпирическое распределение числа поврежденных изделий в 500 контейнерах (в первой строке указано количество x_i поврежденных изделий в одном контейнере, во второй строке приведена частота n_i - число контейнеров, содержащих x_i поврежденных изделий):

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра λ распределения Пуассона.

Случайная величина X (время безотказной работы элемента) имеет показательное распределение f(x)= λe -λx (x≥0). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы 1000 элементов (в первой строке указано среднее время x_i безотказной работы одного элемента в часах; во второй строке указана частота n_i - количество элементов, проработавших в среднем x_i часов):

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x₁, x₂,…, x_n точечную оценку неизвестного параметра β гамма-распределения (параметр α известен), плотность которого

Читайте также: