Закон лямбда b t открыли

Добавил пользователь Владимир З.
Обновлено: 19.09.2024

Из закона Кирхгофа (см. (198.1)) следует, что спектральная плотность энергетической светимости черного тела является универсальной функцией, поэтому нахождение ее явной зависимости от частоты и температуры является важной задачей теории теплового излучения.

Австрийский физик Й. Стефан (1835— 1893), анализируя экспериментальные данные (1879), и Л. Больцман, применяя термодинамический метод (1884), решили эту задачу лишь частично, установив зависимость энергетической светимости R_e от температуры. Согласно закону Стефана — Больцмана,

т. е. энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры; — постоянная Стефана — Больцмана: ее экспериментальное значение равно 5,67×10 -8 Вт/(м 2 ×К 4 ).

Закон Стефана — Больцмана, определяя зависимость R_eот температуры, не дает ответа относительно спектрального состава излучения черного тела. Из экспериментальных кривых зависимости функции от длины волны при различных температурах (рис. 287) следует, что распределение энергии в спектре черного тела является неравномерным.

Все кривые имеют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн. Площадь, ограниченная кривой зависимости от и осью абсцисс, пропорциональна энергетической светимости R_e черного тела и, следовательно, по закону Стефана — Больцмана, четвертой степени температуры.

Немецкий физик В. Вин (1864—1928), опираясь на законы термо- и электродинамики, установил зависимость длины волны , соответствующей максимуму функции , от температуры Т. Согласно закону смещения Вина,

т. е. длина волны , соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре, b — постоянная Вина: ее экспериментальное значение равно 2,9×10 -3 м×К. Выражение (199.2) потому называют законом смещения Вина, что оно показывает смещение положения максимума функции по мере возрастания температуры в область коротких длин волн. Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение (например, переход белого каления в красное при остывании металла).

Несмотря на то, что законы Стефана — Больцмана и Вина играют в теории теплового излучения важную роль, они являются частными законами, так как не дают общей картины распределения энергии по частотам при различных температурах.

Формулы Рэлея — Джинса и Планка

Из рассмотрения законов Стефана — Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа r не дал желаемых результатов. Следующая строгая попытка теоретического вывода зависимости принадлежит английским ученым Д. Рэлею и Д. Джинсу (1877—1946), которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея — Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

где = kT — средняя энергия осциллятора с собственной частотой . Для осциллятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы (см. §50), поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы = kT .

Как показал опыт, выражение (200.1) согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея — Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом Вина (рис. 288). Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана — Больцмана (см. (199.1)) из формулы Рэлея — Джинса приводит к абсурду. Действительно, вычисленная с использованием (200.1) энергетическая светимость черного тела (см. (198.3))

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Планком. Для этого ему пришлось отказаться от установившегося положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться непрерывно, т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями — квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания (см. (170.3)):

где h = 6,625×10 -34 Дж×с— постоянная Планка. Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии :

В данном случае среднюю энергию осциллятора нельзя принимать равнойkT. Вероятность, что осциллятор находится в состоянии с энергией пропорциональна , но при вычислении средних значений (при дискретных значениях энергии) интегралы заменяются суммами. При данном условии средняя энергия осциллятора

а спектральная плотность энергетической светимости черного тела

Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

Подставляя это выражение в формулу Планка (200.3), найдем, что

т. е. получили формулу Рэлея — Джинса (200.1).

Из формулы Планка можно получить закон Стефана — Больцмана. Согласно (198.3) и (200.3),

Введем безразмерную переменную х= ; ; . Формула для R_e преобразуется к виду

Таким образом, действительно формула Планка позволяет получить закон Стефана—Больцмана (ср. формулы (199.1) и (200.4)). Кроме того, подстановка числовых значений k, с и h дает для постоянной Стефана—Больцмана величину, хорошо согласующуюся с экспериментальными данными.

Закон смещения Вина получим с помощью формул (197.1) и (200.3):

Значение , при котором функция достигает максимума, найдем, приравняв нулю эту производную. Тогда, введя , получим уравнение

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений дает х = 4,965. Следовательно, = 4,965, откуда

т. е. получили закон смещения Вина (см. 199.2)).

Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и с, можно вычислить постоянные Стефана — Больцмана и Вина . С другой стороны, зная экспериментальные значения и , можно вычислить значения h и k (именно так и было впервые найдено числовое значение постоянной Планка).

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения, а также позволяет вычислить постоянные в законах теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.

Закон Стефана - БольцманаДовольно долго теоретический вид функции f(ω,T)=c4wω(ω,T) получить не удавалось. Проводя анализ данных эксперимента, Стефан сделал вывод о том, что энергетическая светимость тела пропорциональна четвертой степени температуры (T). Стефан экспериментировал с нечерными телами. Больцман, используя термодинамические законы, получил теоретически формулу для энергетической светимости абсолютно черного тела:где σ=5,67⋅10−8Втм2К4 -- постояннаяСтефана -- Больцмана, T -- абсолютнаятемпература. Выражение (1) называетсязакономСтефана -- Больцмана. ЗаконСтефана - БольцманалегкополучитьизформулыПланка. где k -- постоянная Больцмана, ℏ=1,05⋅10−34Дж⋅с. Вычислимэнергетическуюсветимость:Длявычисленияинтегралавправойчастивыражения (3) сделаемзаменупеременных: ξ=ℏωkT, →ω=ξkTℏ→ω3=(ξkTℏ)3, dω=kTℏdξ (4). Значитимеем:где∞∫0ξ3dξexp(ξ) −1=π415, подставимввыражение (4), получим:вычислим коэффициент, который находится перед T4:

Формула смещения Вина

В. Вин доказал, что равновесное излучение, которое заключено в оболочке с идеально отражающими стенками, остается равновесным при квазистатическом сжатии или расширении оболочки. Значение теоремы Вина методическое. Адиабатически и квазистатический изменяя объем равновесного излучения в оболочке, можно получить равновесное излучение любой плотности, значит и температуры. Энергию или температуру данного излучения находят, вычисляя работу, совершенную над исследуемым объемом в данном процессе. Спектральный состав излучение будет найден, если вычислить доплеровское изменение частоты излучения при его отражении от движущейся оболочки. Так устанавливается соотношение параметров равновесного излучения в любой стадии процесса. В 1893 г. В. Вин используя законы термодинамики и электромагнетизма показал, что функция спектрального распределения имеет вид:где F -- некоторая функция отношения частоты к температуре. Если переписать выражение (6), используя функция для длины волны (φ(λ,T)), то получим:где Ψ(λ,T) -- некоторая функция от произведения λT. Из выражения (7) можно вычислить длину волны, на которую приходится максимум функции φ(λ,T). Найдем производную dφdλ, имеем:В максимуме выражение (8) равно нулю (dφdλ|λ=λmax=0). Выражение в квадратных скобках формулы (8) -- некоторая функция θ(λT), то есть:

Известно, что длина волны конечна, то есть λmax≠∞. Следовательно, выполняется условие:Решение уравнения (10) по отношению к λmaxT дает некоторое число, которое чаще всего в данном случае обозначают буквой b:Выражение (11) называют законом (формулой) смещения Вина в его специальной форме. Формула (11) показывает результат смещения максимума излучения при изменении температуры (T). Эмпирическим путем, получена постоянная мКb=2,9⋅10−3м⋅К. ЗаконВинаможнозаписатьвдругойформе:гдесωm=2πсλmax.

Закон Стефана-Больцмана. Законы Вина

Физики C. Ленгли, Э. Прингсгейм, О. Люммер, Ф. Курлбаум и др., исследуя экспериментально распределение энергии излучения АЧТ по спектру, определили излучательные способности абсолютно черного тела R(λ,T) и R(ν,T). Результаты таких экспериментов при различных значениях температуры приведены на рис. 16.4.

В результате экспериментальных и теоретических исследований, выполненных Й. Стефаном и Л. Больцманом был получен важный закон теплового излучения абсолютно черного тела. Этот закон утверждает, что энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры, то есть

По современным измерениям постоянная Стефана-Больцмана

Для реальных тел закон Стефана-Больцмана выполняется лишь качественно, то есть с ростом температуры энергетические светимости всех тел увеличиваются. Однако, для реальных тел зависимость энергетической светимости от температуры уже не описывается простым соотношением (16.7), а имеет вид:

КоэффициентА(T) в (16.11), всегда меньший единицы, можно назвать интегральной поглощательной способностью тела. Значения коэффициентаА(T) известны для многих технически важных материалов. Так, в достаточно широком диапазоне температур для металловА(T) = 0,1 ÷ 0,4, а для угля и окислов металлов А(T) = 0,5 ÷ 0,9.

Энергетическая светимость АЧТ, численно равная площади под соответствующими кривыми, сильно зависит от температуры. Максимум излучательной способности с увеличением температуры смещается в сторону коротких длин волн.

Закон Стефана-Больцмана не дает информации о спектральном составе излучения абсолютно черного тела.

В 1893 г. немецкий физик В.Вин теоретически рассмотрел термодинамический процесс сжатия излучения, заключенного в полости с идеально зеркальными стенками, и пришел к выводу, что испускательная способность абсолютно черного тела прямо пропорциональна кубу частоты и является функцией отношения ν/T:

где α – постоянная величина, F - некоторая функция, конкретный вид которой термодинамическими методами установить невозможно.

Переходя в этой формуле Вина от частоты к длине волны, получим:

Как видно, в выражение для излучательной способности температура входит лишь в виде произведения λT. Уже это обстоятельство позволило предсказать некоторые особенности функции . В частности, эта функция достигает максимума при определенной длине волны λ_m, которая при изменении температуры тела изменяется так, чтобы выполнялось условие: λ_mT = const.

Таким образом, В. Вин сформулировал закон теплового излучения, согласно которому длина волны λ_m, на которую приходится максимум излучательной способности абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной температуре. Этот закон можно записать в виде

где - постоянная Вина.

Закон Вина называют законом смещения, подчеркивая тем самым, что при повышении температуры абсолютно черного тела положение максимума его излучательной способности смещается в область коротких длин волн. Результаты экспериментов, приведенные на рис. 16.4, подтверждают этот вывод не только качественно, но и количественно, строго в соответствии с формулой (16.14).

С ростом температуры любого тела длина волны, вблизи которой тело излучает больше всего энергии, также смещается в сторону коротких длин волн. Это смещение, однако, уже не описывается простой формулой (16.14), которую для излучения реальных тел можно использовать только в качестве оценочной, т.е. формула (16.14) остается в силе только при больших частотах и низких температурах.

Кроме закона смещения (16.14) Вин получил выражение для максимального значения излучательной способности АЧТ. Эту зависимость называют вторым законом Вина, согласно которому максимальное значение испускательной способности АЧТпрямо пропорционально абсолютной температуре в пятой степени:

где . Однако, получить теоретическое выражение для универсальной функции Кирхгофа, хорошо описывающее экспериментальные результаты во всем диапазоне длин волн излучения тела, Вину не удалось.

Во всех разобранных выше случаях подход к изучению теплового излучения был термодинамическим. У.Рэлей и Д.Джинс впервые к этим явлениям применили методы классической статистической физики. Согласно закону о равномерном распределении энергии равновесной системы по степеням свободы на каждую колебательную степень свободы осциллятора с собственной частотой ν приходится энергия, равная < >= kT, где k −постоянная Больцмана. В соответствии с таким подходом У.Рэлей и Д.Джинс в 1905 г. получили выражение для универсальной функции Кирхгофа:

= kT. (16.16) Здесь − общее число степеней свободы системы, приходящихся на единицу объема полости.

Однако, как показал опыт, формула Рэлея – Джинса хорошо согласуясь с опытными данными только для малых частот (рис.16.5) и больших температур, не удовлетворяет закону смещения Вина, а также закону Стефана-Больцмана. Действительно, для абсолютно черного тела энергетическая светимость R(T), определяемая по формуле Рэлея−Джинса (16.16), оказывается равной бесконечности:

Вопрос 5. Формула Планка.

Выход из создавшейся ситуации нашел немецкий физик М. Планк.

В 1900 г. он впервые выдвинул гипотезу о дискретных значениях энергии осциллятора.

Согласно этой гипотезе энергия осциллятора с собственной частотой ν может принимать лишь определенные дискретные (квантованные) значения, отличающиеся на целое число элементарных порций − квантов энергии: ε_ν = hν, где h= 6,625·10 -34 Дж·с − постоянная Планка (квант действия). Тогда полная энергия осциллятора будет равна целому числу квантов

Согласно этой гипотезе Планк моделировал реальное твердое тело с помощью системы квантовых осцилляторов. Выполнив усреднение энергии осциллятора с помощью распределения Больцмана, Планк получил выражение для среднего значения энергии, приходящейся на одну колебательную степень свободы осциллятора:

Подставив соотношение (16.18) в формулу Рэлея – Джинса (16.14), Планк получил формулу для излучательной способности АЧТ как функцию от частоты излучения:

Эта формула как функция от длины волны излучения имеет вид:

именно ее чаще всего используют в экспериментальных работах.

Из формулы Планка вытекают все законы теплового излучения тел.

В области малых частот, т.е. при условии, что квант энергии во много раз меньше средней энергии осциллятора (h , формула Планка совпадает с формулой Релея—Джинса. Для доказательства этого разложим функцию e h в ряд:

e h =1+ ) + ( ) +… (16.21)

и, ограничившись первыми двумя членами разложения, из (16.19) получаем формулу Релея—Джинса (16.14):

В предельном случае больших частот ( >>1) единицей в знаменателе формулы (16.19) можно пренебречь, тогда получим формулу

которая совпадает с выражением (16.12), т.е. с формулой Вина, причем, функция F(ν/Т) представляет собой выражение

которое действительно зависит от отношения частоты к температуре. График функции Вина показан на рис. 16.5. Функции Вина совпадает с формулой Планка только в области больших частот.

Интегральную излучательную способность АЧТ (закон Стефана—Больцмана) можно получить, проинтегрировав выражение (16.20) по длинам волн в интервале от 0 до :

Произведем замену переменной. Обозначим , тогда подстановка и приводит выражение (16.21) к виду

где . Так как , то

Как видим, величина s (постоянная Стефана-Больцмана) выражается через постоянные величины c, h, k.

Анологично, исследуя функцию (16.22) по переменной ν на экстремум, можно получить значение постоянной Вина, которая выражается также через постоянные с, h и k, и выполнить проверку закона смещения Вина.

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с

экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.

Кривые потока излучения абсолютно чёрных тел с разной температурой. Наглядно можно увидеть, что возрастании температуры максимум излучения сдвигается в ультрафиолетовую часть спектра (в область коротких длин волн). Именно эту особенность и описывает закон Вина.

Зако́н смеще́ния Ви́на даёт зависимость длины волны, на которой поток излучения энергии чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.

Содержание

Общий вид закона смещения Вина

где T — температура, а λ_max — длина волны с максимальной интенсивностью. Коэффициент b , называемый постоянной Вина, в системе СИ имеет значение 0,002898 м·К.

$\nu$

Для частоты света (в герцах) закон смещения Вина имеет вид:

$\nu_\max = < \alpha \over h> kT \approx (5,879 \times 10^ \ \mathrm) \cdot T,$

α ≈ 2,821439… Гц/К — постоянная величина, k — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, T — температура (в кельвинах).

Вывод закона

Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для абсолютно чёрного тела, записанного для длин волн:

$B(\lambda,T) = <2 h c\over \lambda^5> <1\over e^<h c/\lambda kT>-1>.$

$\lambda$

Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по и приравнять дифференциал к нулю:

$< \partial B \over \partial \lambda > = \frac <\lambda^6><1\over e^-1> \left( <hc\over kT \lambda>\over \left(e^-1\right)> - 5 \right)=0$

Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда или когда \rightarrow\infty" width="" height="" />
, что выполняется при . Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка , которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

$<hc\over kT \lambda> \over \left(e^-1\right)> - 5 =0$

$x=<hc\over kT \lambda> Используя замену переменных$
, данное уравнение можно преобразовать к виду

$<x e^x \over e^x - 1> -5=0.$

Численное решение этого уравнения даёт: [1]

$x = 4.965114231744276\ldots$

Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, можно определить длину волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума, как

$\lambda_\max = <hc\over x > <1\over kT>= <2.89776829\ldots \times 10^<-3>\over T>,$

$\lambda_<\max> где температура дана в кельвинах, а$
— в метрах.

Примеры

Согласно закону смещения Вина человеческое тело с температурой 290 K (+17°C) имеет максимум теплового излучения на длине волны 10 μм, что соответствует инфракрасному диапазону спектра.

Реликтовое излучение имеет эффективную температуру 2,7 K и достигает своего максимума на длине волны 1 мм. Соответственно эта длина волны принадлежит уже радиодиапазону.

История

Вильгельм Вин впервые вывел этот закон в 1893 году путём применения законов термодинамики к электромагнитному излучению.

См. также

Ссылки

Источники и примечания

$<x e^ <ol> <li>↑ Решение уравнения \over e^ - 1> = n$
невозможно выразить с помощью элементарных функций. Его точное решение можно найти с помощью W-функции Ламберта, однако в данном случае достаточно воспользоваться приближённым решением.

Статистическая физика
Астрофизика
Оптика

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Закон смещения Вина" в других словарях:

закон смещения Вина — Vyno poslinkio dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Wien’s displacement law vok. Wiensches Verschiebungssatz, m rus. закон смещения Вина, m pranc. loi de déplacement de Wien, f … Fizikos terminų žodynas

закон смещения Вина — [Wien s displacement law] длина волны (λмах), на которую приходится максимум энергии в спектре равновесного излучения, обратно пропорционально абсолютной температуре, излучающего тела: λмах • Т = b, где b постоянная Вина. Впервые получен немецким … Энциклопедический словарь по металлургии

закон излучения Вина — [Wien s radiation law] распределения энергии в спектре равновесного излучения в зависимости от абсолютной температуры (T). Открыт немецким физиком В. Вином, который в 1883 г. вывел формулу для общего вида распределения энергии в спектре… … Энциклопедический словарь по металлургии

ВИНА ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ — закон, утверждающий, что длина волны l,макс, на к рую приходится максимум энергии в спектре равновесного излучения, обратно пропорциональна абс. темп ре T излучающего тела: lмаксT=b (b постоянная Вина). В. з. с. является следствием формулы Вина… … Физическая энциклопедия

ВИНА ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ — ВИНА ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ: длина волны на которую приходится максимум энергии в спектре равновесного излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре излучающего тела. Выведен в 1893 В. Вином … Большой Энциклопедический словарь

ВИНА ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ — ВИНА ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ: длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре равновесного излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре излучающего тела. Выведен в 1893 В. Вином … Энциклопедический словарь

Вина закон смещения — закон, утверждающий, что длина волны λмакс, на которую приходится максимум энергии в спектре равновесного излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре Т излучающего тела: λмакс·Т = b, где b постоянная, равная 0,2897 см·К. В.… … Большая советская энциклопедия

ВИНА ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ — [по имени нем. физика В. Вина (W. Wien; 1864 1928)] закон теплового излучения, согласно к рому длина волны Лmах, соответствующая максимуму кривой распределения энергии по длинам волн в спектре теплового излучения абсолютно чёрного тела, обратно… … Большой энциклопедический политехнический словарь

закон наименьшего сопротивления — [law of least resistance] при возможности перемещения точек деформируемого тела в разных направлениях каждая точка этого тела перемещается в направлении наименьшего сопротивления. Этот закон находит проявление, в частности, в принципе кратчайшей… … Энциклопедический словарь по металлургии

закон излучения Планка (формула Планка) — [Planck s radiation law] закон распределения энергии в спектре равновесного излучения при определенной температуре. Был впервые выведен немецким физиком М. Планком в 1900 г. на основе гипотезы о том, что энергия испускается дискретными порциями… … Энциклопедический словарь по металлургии

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком для равновесной плотности излучения u(ω,T) . После того как вывод Релея — Джинса для излучения абсолютно чёрного тела, столкнулся с ультрафиолетовой катастрофой (расходимость при больших частотах), стало ясно, что классическая физика не в силах объяснить его излучение. Для вывода формулы Планк в 1900 году сделал предположение о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых связана с частотой излучения выражением:

$\varepsilon = \hbar \omega.$

Содержание

Вывод для абсолютно чёрного тела

Выражение для средней энергии колебания частотой ω дается выражением:

$\overline<\varepsilon> = \frac <\hbar \omega><\mathrm<exp>( \hbar \omega / kT) -1> \qquad\qquad (1)$
.

Количество стоячих волн в трёхмерном пространстве равно:

$\mathrm<d> n_<\omega>= \frac <\omega^2 \mathrm<d>\omega> <\pi^2 c^3>\qquad\qquad (2)$

перемножив (1) и (2), получим плотность энергии, приходящуюся на интервал частот dω :

$u(\omega,T)\mathrm<d> \omega = \frac <\hbar \omega><\mathrm<exp>(\hbar \omega / kT) -1> \cdot \frac <\omega^2 \mathrm<d>\omega> <\pi^2 c^3>$
откуда:

$u(\omega,T)=\frac<\hbar \omega^3 > <\pi^2 c^3>\cdot \frac <\mathrm<exp>(\hbar \omega / kT) -1> \qquad\qquad (3)$

$f(\omega,T)= \frac<c> Зная связь испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) с равновесной плотностью энергией теплового излучения u(\omega,T)$
, для f(ω,T) находим:

$f(\omega,T)=\frac<\hbar \omega^3 > \cdot \frac <\mathrm<exp>(\hbar \omega / kT) -1> \qquad\qquad (4)$

Выражения (3) и (4)носят название формулы Планка.

$\varphi(\lambda, T)$

Испускательную способность АЧТ, выраженную через длину волны λ т.е. можно выразить используя соотношение:

$\varphi(\lambda, T)= \frac <\lambda^2>\cdot f(\frac<\lambda>,T)$
, получим

$\varphi(\lambda, T) = \frac<4\pi^2 \hbar c^2> <\lambda^5>\cdot \frac<\mathrm<exp>(2 \pi \hbar c/ kT \lambda) -1> \qquad\qquad (5)$

Переход к формулам Релея—Джинса.

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до . При малых частотах (больших длинах волн), когда можно разложить экспоненту по . В результате получим, что (\hbar \omega / kT) -1 \approx 1 + \hbar \omega / kT -1 = \hbar \omega / kT " width="" height="" />
, тогда (3) и (4) переходят в формулу Релея—Джинса.

<\pi^2 c^3>" width="" height="" />
и \omega = kT \frac<\omega^2 > " width="" height="" />

Переход к закону Стефана — Больцмана.

Для энергетической светимости следует записать интеграл:

$R= \int_0^<\infty> f(\omega,T)\mathrm \omega = \int_0^ <\infty>\frac<\hbar \omega^3> \cdot \frac <\mathrm\omega ><\mathrm<exp>( \hbar \omega / kT) -1>$

Введём переменную , тогда , \omega = (kT/ \hbar) \mathrmx" width="" height="" />
, получим

$R= \frac<\hbar> \cdot \left( \frac <\hbar>\right)^4 \int_0^ <\infty>\frac\mathrm><\mathrm<e>^x -1>.$

$~\pi^4 / 15$

Полученный интеграл имеет точное значение: , подставив его получим известный закон Стефана — Больцмана:

$R= \frac<\pi^2 k^4> T^4 = \sigma T^4$

Подстановка численных значений констант даёт значение для " width="" height="" />
Вт/(м 2 K 4 ), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения Вина

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по λ и приравнять нулю (поиск экстремума):

$\frac< \mathrm<d> \varphi(\lambda, T)> <\mathrm<d>\lambda> = \frac< 4 \pi^2 \hbar c^2 \left\< \frac \mathrm \left( \frac \right) - 5 \left[ \mathrm \left( \frac \right) -1 \right] \right\> > <\lambda^6 \left[ \mathrm\left( \frac \right) -1 \right]^2> =0$
.

$\frac<2 \pi \hbar c> Значение λm , при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим = x$
, получится уравнение:

$\frac<2 \pi \hbar c> Решение такого уравнение даёт x=4.965. Следовательно = 4,965$
, отсюда немедленно получается:

$T \lambda_m = \frac<2 \pi \hbar c> = b$
.

Численная подстановка констант даёт значение для b, совпадающее с экспериментом.

Литература

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Закон излучения Планка" в других словарях:

закон излучения Планка — Смотри закон излучения Планка (формула Планка) … Энциклопедический словарь по металлургии

закон излучения Планка — Planko spinduliavimo dėsnis statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. Planck s radiation law vok. Plancksches Gesetz, n rus. закон излучения Планка, m pranc. loi de Planck, f … Radioelektronikos terminų žodynas

закон излучения Планка — Planko spinduliuotės dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Planck’s radiation law vok. Plancksches Strahlungsgesetz, n rus. закон излучения Планка, m pranc. loi de Planck, f … Fizikos terminų žodynas

закон излучения Планка — Planko spinduliuotės dėsnis statusas T sritis Energetika apibrėžtis Tai dėsnis, išreiškiantis absoliučiai juodo kūno monochromatinės spinduliuotės intensyvumo priklausomybę nuo bangos ilgio ir temperatūros. atitikmenys: angl. Planck’s radiant law … Aiškinamasis šiluminės ir branduolinės technikos terminų žodynas

ПЛАНКА ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ — (формула Планка), закон распределения энергии в спектре равновесного излучения при определённой темп ре Т. Был впервые выведен нем. физиком М. Планком (М. Planck) в 1900 на основе гипотезы о том, что энергия испускается дискр. порциями квантами.… … Физическая энциклопедия

закон излучения Кирхгофа — [Kirchhoffs radiation law) отношение излучательной способности ε0(λ, Т) тел к их поглощательной способности α(λ, Т) не зависит от природы излучения тела, равно излучательной способности абсолютно черного тела ε(λ, Т) не зависит от длины волны… … Энциклопедический словарь по металлургии

закон излучения Стефана — Больцмана — [Stefan Boltzmann radiation law] закон, устанавливающий пропорциональность 4 й степени абсолютной температуры T, полной объемной плотности ρ равновесного излучения (ρ = α • Т4, где α постоянная) и связанной с ней полной испускательной способности … Энциклопедический словарь по металлургии

Закон излучения Стефана — Больцмана — Закон Стефана Больцмана закон излучения абсолютно чёрного тела. Определяет зависимость между мощностью излучения энергии нагретым телом и температурой нагрева. Формулировка закона: Мощность излучения абсолютно чёрного тела прямо пропорциональна … Википедия

$\varepsilon = \hbar \omega.$

Содержание

Вывод для абсолютно чёрного тела

Выражение для средней энергии колебания частотой ω дается выражением:

$\overline<\varepsilon> = \frac <\hbar \omega><\mathrm<exp>( \hbar \omega / kT) -1> \qquad\qquad (1)$
.

Количество стоячих волн в трёхмерном пространстве равно:

$\mathrm<d> n_<\omega>= \frac <\omega^2 \mathrm<d>\omega> <\pi^2 c^3>\qquad\qquad (2)$

перемножив (1) и (2), получим плотность энергии, приходящуюся на интервал частот dω :

$u(\omega,T)\mathrm<d> \omega = \frac <\hbar \omega><\mathrm<exp>(\hbar \omega / kT) -1> \cdot \frac <\omega^2 \mathrm<d>\omega> <\pi^2 c^3>$
откуда:

$u(\omega,T)=\frac<\hbar \omega^3 > <\pi^2 c^3>\cdot \frac <\mathrm<exp>(\hbar \omega / kT) -1> \qquad\qquad (3)$

$f(\omega,T)=\frac<\hbar \omega^3 > \cdot \frac <\mathrm<exp>(\hbar \omega / kT) -1> \qquad\qquad (4)$

Выражения (3) и (4)носят название формулы Планка.

$\varphi(\lambda, T)$

Испускательную способность АЧТ, выраженную через длину волны λ т.е. можно выразить используя соотношение:

$\varphi(\lambda, T)= \frac <\lambda^2>\cdot f(\frac<\lambda>,T)$
, получим

$\varphi(\lambda, T) = \frac<4\pi^2 \hbar c^2> <\lambda^5>\cdot \frac<\mathrm<exp>(2 \pi \hbar c/ kT \lambda) -1> \qquad\qquad (5)$

Переход к формулам Релея—Джинса.

<\pi^2 c^3>" width="" height="" />
и \omega = kT \frac<\omega^2 > " width="" height="" />

Переход к закону Стефана — Больцмана.

Для энергетической светимости следует записать интеграл:

$R= \int_0^<\infty> f(\omega,T)\mathrm \omega = \int_0^ <\infty>\frac<\hbar \omega^3> \cdot \frac <\mathrm\omega ><\mathrm<exp>( \hbar \omega / kT) -1>$

Введём переменную , тогда , \omega = (kT/ \hbar) \mathrmx" width="" height="" />
, получим

$R= \frac<\hbar> \cdot \left( \frac <\hbar>\right)^4 \int_0^ <\infty>\frac\mathrm><\mathrm<e>^x -1>.$

$~\pi^4 / 15$

Полученный интеграл имеет точное значение: , подставив его получим известный закон Стефана — Больцмана:

$R= \frac<\pi^2 k^4> T^4 = \sigma T^4$

Переход к закону смещения Вина

$\frac<2 \pi \hbar c> Решение такого уравнение даёт x=4.965. Следовательно = 4,965$
, отсюда немедленно получается:

$T \lambda_m = \frac<2 \pi \hbar c> = b$
.

Численная подстановка констант даёт значение для b, совпадающее с экспериментом.

Литература

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Закон Планка" в других словарях:

ЗАКОН ПЛАНКА — закон излучения один из основных законов теплового (см.), выражающий распределение энергии излучения абсолютно чёрного (см.) как функцию температуры Т и частоты v (или длины волны, равной где с скорость света в вакууме). В основе закона лежит… … Большая политехническая энциклопедия

Закон Стефана — Больцмана — Закон Стефана Больцмана закон излучения абсолютно чёрного тела. Определяет зависимость мощности излучения абсолютно чёрного тела от его температуры. Формулировка закона: Мощность излучения абсолютно чёрного тела прямо пропорциональна… … Википедия

Закон Стефана — Закон Стефана Больцмана закон излучения абсолютно чёрного тела. Определяет зависимость мощности излучения абсолютно чёрного тела от его температуры. Формулировка закона: Мощность излучения абсолютно чёрного тела прямо пропорциональна… … Википедия

ПЛАНКА ПОСТОЯННАЯ — (квант действия, обозначается h), фундаментальная физ. константа, определяющая широкий круг физ. явлений, для к рых существенна дискретность величин с размерностью действия (см. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА). Введена нем. физиком М. Планком в 1900 при… … Физическая энциклопедия

Закон Стефана-Больцмана — Закон Стефана Больцмана закон излучения абсолютно чёрного тела. Определяет зависимость между мощностью излучения энергии нагретым телом и температурой нагрева. Формулировка закона: Мощность излучения абсолютно чёрного тела прямо пропорциональна … Википедия

ПЛАНКА ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ — устанавливает распределение энергии в спектре абсолютно черного тела (равновесного теплового излучения). Выведен М. Планком в 1900 … Большой Энциклопедический словарь

Закон Рэлея — Джинса — Закон Рэлея Джинса закон излучения Рэлея Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела u(ω,T) и для испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) который получили Рэлей и Джинс, в рамках классической… … Википедия

Инженер должен иметь в своем распоряжении методы измерения надежности, способы ее количественной оценки, позволяющие производить сравнительную количественную оценку, расчеты и испытания на надежность.

При написании выражений статистические показатели будем отмечать волнистой чертой сверху.

Вероятность безотказной работы объекта Р(t) – это вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникает (наработка – продолжительность или объем работы).

Математическое определение:

где Т – случайное время (наработка) объекта до отказа;

t₃ – заданная наработка.

Другими словами, Р(t_з) есть вероятность того, что объект проработает безотказно в течение заданного времени t_з, начав работать в момент времени t=0.

Статистическое определение:

где N(0) – достаточно большое число одинаковых работоспособных объектов в момент времени t=0;

N(t₃) – число работоспособных объектов к моменту времени t₃.

Известно, что при N(0)→∞ статистическая оценка (t₃) сходится по вероятности к Р(t₃).

Вероятность Р(t₃) является монотонно убывающей функцией времени (см. рис. ), причем Р(0)=1 и Р(t₃=∞)=0, так как любой объект, работоспособный в момент включения, со временем откажет.

Вероятность отказа Q(t) –это вероятность того, что наработка объекта до отказа окажется меньше заданной наработки.

Математическое определение:

Статистическое определение:

Вероятность отказа объекта является функцией распределения наработки до отказа и в ряде случаев обозначается F(t₃). Очевидно, что Q(0)=0 и Q(t₃→∞)=1 (см. рис. ).

Рис. Пояснение статистического определения и

Рис. Зависимости P(t) и Q(t) от времени

Вероятность безотказной работы объекта на промежуточном интервале времени от t₁ до t₂ можно определить из соотношения

где P(t₁) и P(t₂) – вероятности безотказной работы объекта соответственно на интервале (0,t₁) и (0,t₂).

Вероятность безотказной работы объекта на интервале (t₁,t₂)

представляет собой условную вероятность безотказной работы объекта на интервале (t₁,t₂) при условии, что к моменту времени t₁ он был работоспособен.

Статистическое определение:

где N(t₁) и N(t₂) – соответственно число работоспособных объектов к моментам времени t₁ и t₂.

Плотность вероятности отказа f(t)- производная от вероятности отказа невосстанавливаемого объекта:

Из соотношения (9) следует, что f(t) характеризует скорость убывания вероятности безотказной работы, т. е. - это дифференциальный закон распределения .

Проинтегрировав соотношение (9), получим интегральный закон распределения

Статистическое определение:

характеризуется отношением числа отказавших в единицу времени невосстанавливаемых объектов к их первоначальному числу (в момент времени t=0).

Рис. К определению

Так как N(t)=N(0)·P(t) и N(t+∆t)=N(0)·P(t+∆t), то в пределе при

∆t→0 получим

Интенсивность отказов невосстанавливаемого объекта - λ(t) (лямбда от t) .

Математическое определение:

где f(t) – плотность вероятности отказа в момент времени t.

Ранее было показано:

Интегрируя левую и правую части (15) получим

Таким образом, имеем

Определим вероятность безотказной работы объекта на интервале (t₁,t₂)

(При делении экспонент показатели вычитаются.)

Статистическое определение:

характеризуется отношением числа отказавших в единицу времени невосстанавливаемых объектов к числу объектов работоспособных в начале интервала ∆t.

Интервал ∆t должен быть достаточно малым, чтобы обеспечить плавный характер кривой λ(t), и в то же время достаточно большим, чтобы на нем могли быть зафиксированы отказы объектов.

Нетрудно заметить, что при ∆t→0

Типовые зависимости P(t), f(t) и λ(t) для радиоэлектронных элементов показаны на рис.3.

Рис.3. Типовые зависимости показателей надежности от времени.

Участок 0–t₁ характеризуется интенсивными отказами, вызываемыми скрытыми дефектами. Этот участок называется участком приработки. Участок при t>t₂ также характеризуется более интенсивными отказами. Эти отказы связаны со старением элементов, их механическим и электрическим износом. На участке от t₁ до t₂ преобладают случайные внезапные отказы; это участок нормальной работы, для которого обычно принимают интенсивность отказов λ(t)= λ=const.

Если λ(t)= λ, то из состояния (17) следует

Из соотношения (13) получим

При допущении постоянства интенсивности отказов говорят, что наработка до отказа распределена по экспоненциальному закону.

В таблице 1 показаны базовые значения интенсивности отказов для некоторых видов радиоэлектронных элементов.

Вид элемента	Интенсивность отказов, Е-6, 1/час
Конденсатор КСО	0,100
Полупроводниковый диод КД908	0,070
Дроссель	0,600
Кинескоп 61ЛК3Ц	7,300
Штепсельный разъем	3,000
Интегральная микросхема К155	0,160
Резистор СП3-35	0,050
Транзистор КТ965А	0,500
Трансформатор ТАН	0,200
Печатный проводник	0,010
Точка пайки	0,010

Средняя наработка до отказа –математическое ожидание наработки объекта до отказа.

из соотношения (25)

т.е. Т_ср численно равна площади под кривой Р(t).

С учетом (7) из соотношения (26) получим

Если λ(х)= λ=const, то средняя наработка до отказа

т.е. при экспоненциальном законе надежности средняя наработка объекта обратно пропорциональна интенсивности отказов, а интенсивность отказов обратно пропорциональна средней наработке.

Принимая во внимание соотношение (28), из формул (22) и (24) получим

Выясним смысл Т_{ср .}

т.е. под средней наработкой до отказа можно понимать такую наработку, по которой из множества одинаковых объектов в среднем должны остаться работоспособными 37%.

Читайте также: