Совокупность векторов не может являться базисом трехмерного линейного пространства если лямбда равно

Обновлено: 07.07.2024

причем столбцы матрицы А можно рассматривать как векторы с координатами в ортонормированном базисе оров Е₁,Е₂, . ,Е_n.

Векторное n-мерное евклидово пространство имеет бесчисленное множество базисов и любой вектор В этого пространства имеет свои координаты в каждом.

Пример * . Дано: векторы и Î R 2 .

Доказать: Е₁ и Е₂ образуют базис в пространствеR 2 .

Доказательство: Базис в R 2 должен содержать два любых линейно независимых вектора. Векторы будут линейно независимы, если уравнение (см. 10.5.) имеет только одно, причем нулевое решение.

В матричной форме уравнение имеет вид:, а в виде системы линейных уравнений его можно записать так: .

Для того, чтобы эта система имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был не равен нулю (теорема Крамера).

Действительно, , следовательно Е₁ и Е₂ - два линейно независимых вектора двумерного пространства и их можно рассматривать как базис этого пространства.

(*) Пусть в n-мерном векторном пространстве задан еще один базис: D₁,D₂, . D_nи связь между старым и новым базисом задана системой векторных уравнений:

Транспонируем матрицу коэффициентов этой системы обозначим ееР:

Матрицу Рназывают матрица перехода от старого базиса (Е₁,Е₂, . ,Е_n)к новому базису(D₁,D₂, . ,D_n). При этом следует обратить внимание на то, что коэффициенты разложения i-го базисного вектора образуют i-й столбец матрицыР.

ЕслиE - матрица из старых базисных векторов, расположенных столбцами, а D- матрица из новых базисных векторов, расположенных столбцами, то связь между старым и новым базисом можно записать в виде матричных уравнений:

где E₁ и E₂ - векторы из примера *.

Из условия следует, что .

Векторы D₁ и D₂ тоже образуют базис R 2 (доказательство аналогично примеру *).

Легко проверить, что . .

Пусть дан n-мерный векторХ, который в старом базисе задан координатами x_i, а в новом базисе координатами , i=1, 2, . n, при этом Р- матрица перехода от старого базиса к новому.

При таких обозначениях связь между координатами вектора Хв старом и новом базисах можно задать равенствами:

Из всех возможных базисов чаще всего используются ортогональный базис и ортонормированный базис.

Ортогональным базисом называют базис, все векторы которого попарно ортогональны (скалярное произведение любой пары базисных векторов равно нулю).

Ортонормированным базисом называют такой ортогональный базис, все векторы которого имеют единичную длину.

Если вектор имеет одну координату =1, а остальные его координаты =0, то такой вектор называют орт. Очевидно, что количество всех ортов пространства равно его размерности. Все орты пространства образуют его ортонормированный базис.

Например, в трехмерном пространстве ортонормированный базис образуют орты и разложение вектора с координатами 2, 3, 5 в этом базисе можно записать в виде: .

На координатной плоскости (в векторном пространстве R 2 ) ортонормированный базис образуют два орта координатных осей.

Можно проверить, что векторы и тоже образуют ортонормированный базис этого пространства.

Если матрица Рортогональная, то ее столбцы можно рассматривать как попарно ортогональные векторы единичной длины (см. пример из 6.2.2.). Следовательно столбцы ортогональной матрицы можно рассматривать как ортонормированный базис пространства соответствующей размерности.

Понятия размерности и базиса векторного пространства напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что рекомендуем при необходимости обращаться к статье линейная зависимость системы векторов, свойства линейной зависимости и независимости.

Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Приведем некоторые рассуждения, основываясь на этих определениях.

Рассмотрим пространство n-мерных векторов.

Покажем, что размерность этого пространства равна n.

Возьмем систему из n единичных векторов вида

Примем эти векторы в качестве строк матрицы А. В этом случае матрица А будет единичной матрицей размерности n на n. Ранг этой матрицы равен n (при необходимости смотрите статью ранг матрицы: определение, методы нахождения). Следовательно, система векторов линейно независима, причем к этой системе нельзя добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости. Так как число векторов в системе равно n, то размерность пространства n-мерных векторов равна n, а единичные векторы являются базисом этого пространства.

Из последнего утверждения и определения базиса можно сделать вывод, что любая системаn-мерных векторов, число векторов в которой меньше n, не является базисом.

Теперь переставим местами первый и второй вектор системы . Легко показать, что полученная система векторов также является базисом n-мерного векторного пространства. Составим матрицу, приняв ее строками векторы этой системы. Эта матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первой и второй строк, следовательно, ее ранг будет равен n. Таким образом, система из n векторов линейно независима и является базисом n-мерного векторного пространства.

Если переставить местами другие векторы системы , то получим еще один базис.

Если взять линейно независимую систему не единичных векторов, то она также является базисом n-мерного векторного пространства.

Таким образом, векторное пространство размерности n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n n-мерных векторов.

Если говорить о двумерном векторном пространстве (то есть, о плоскости), то ее базисом являются два любых не коллинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства являются три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим несколько примеров.

Являются ли векторы базисом трехмерного векторного пространства?

Исследуем эту систему векторов на линейную зависимость. Для этого составим матрицу, строками которой будут координаты векторов, и найдем ее ранг:

Таким образом, векторы a, b и c линейно независимы и их количество равно размерности векторного пространства, следовательно, они являются базисом этого пространства.

Может ли система векторов быть базисом векторного пространства?

Эта система векторов линейно зависима, так как максимальное число линейно независимых трехмерных векторов равно трем. Следовательно, эта система векторов не может быть базисом трехмерного векторного пространства (хотя подсистема исходной системы векторов является базисом).

Убедитесь, что векторы

могут быть базисом четырехмерного векторного пространства.

Составим матрицу, приняв ее строками исходные векторы:

Найдем ранг матрицы методом Гаусса:

Таким образом, система векторов a, b, c, d линейно независима и их количество равно размерности векторного пространства, следовательно, a, b, c, d являются его базисом.

исходные векторы действительно являются базисом четырехмерного пространства.

Составляют ли векторы базис векторного пространства размерности 4?

Даже если исходная система векторов линейно независима, количество векторов в ней недостаточно для того, чтобы быть базисом четырехмерного пространства (базис такого пространства состоит из 4 векторов).

нет, не составляет.

21. Линейное, или векторное пространство над полем — это упорядоченная четвёрка , где

— непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;

— (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;

— операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов множества единственный элемент множества , обозначаемый ;

— операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу поля и каждому элементу множества единственный элемент множества , обозначаемый ;

причём, заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

1. , для любых (коммутативность сложения);

2. , для любых (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;

4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).

5. (ассоциативность умножения на скаляр);

6. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).

7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве структуру (аддитивной) абелевой группы.

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами.

В качестве дополнительной (девятой) аксиомы векторного пространства иногда используют следующую: размерность пространства равна некоторому натуральному числу (если существует максимальная линейно независимая система векторов данного пространства или, что тоже самое, существует конечная порождающая система векторов данного пространства), и тогда такое пространство называют конечномерным, или говорят, что пространство бесконечномерное (если не существует конечной порождающей системы векторов данного пространства). В соответствии с этим, теория линейных (векторных) пространств разделяется на две различные части: теорию конечномерных пространств, в которой существенным оказывается алгебраический аспект, и теорию бесконечномерных пространств, где главным оказывается аспект анализа — вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций.

Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора вполне могут образовывать новый базис. И первый этап полностью совпадает с решением Примера 6, необходимо проверить, действительно ли векторы линейно независимы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов :

, значит, векторы линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.

! Важно: координаты векторов обязательно записываем в столбцыопределителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.

Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы образуют базис, то любой вектор можно единственным способом разложить по данному базису: , где – координаты вектора в базисе .

Поскольку наши векторы образуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то вектор можно единственным образом разложить по данному базису:
, где – координаты вектора в базисе .

По условию и требуется найти координаты .

Для удобства объяснения поменяю части местами: . В целях нахождения следует расписать данное равенство покоординатно:

По какому принципу расставлены коэффициенты? Все коэффициенты левой части в точности перенесены из определителя , в правую часть записаны координаты вектора .

Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают поформулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование.

Главный определитель системы уже найден:
, значит, система имеет единственное решение.

Дальнейшее – дело техники:

Таким образом:
– разложение вектора по базису .

Ответ:

Как я уже отмечал, задача носит алгебраический характер. Векторы, которые были рассмотрены – это не обязательно те векторы, которые можно нарисовать в пространстве, а, в первую очередь, абстрактные векторы курса линейной алгебры. Для случая двумерных векторов можно сформулировать и решить аналогичную задачу, решение будет намного проще. Однако на практике мне такое задание ни разу не встречалось, именно поэтому я его пропустил в предыдущем разделе.

Такая же задача с трёхмерными векторами для самостоятельного решения:

Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Аналогично можно рассмотреть четырёхмерное, пятимерное и т.д. векторные пространства, где у векторов соответственно 4, 5 и более координат. Для данных векторных пространств тоже существует понятие линейной зависимости, линейной независимости векторов, существует базис, в том числе, ортонормированный, разложение вектора по базису. Да, такие пространства невозможно нарисовать геометрически, но в них работают все правила, свойства и теоремы двух и трех мерных случаев – чистая алгебра. Собственно, о философских вопросах меня уже пробивало поговорить в статье Частные производные функции трёх переменных, которая появилась раньше данного урока.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: составим пропорцию из соответствующих координат векторов:

Ответ: при

Пример 4: Доказательство: Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
1) Проверим параллельность противоположных сторон и .
Найдём векторы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы не коллинеарны, и стороны не параллельны.
2) Проверим параллельность противоположных сторон и .
Найдём векторы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны, и .
Вывод: Две стороны четырёхугольника параллельны, а две другие стороны не параллельны, значит, он является трапецией по определению. Что и требовалось доказать.

Пример 6: Решение: б) Вычислим определитель, составленный из координат векторов (определитель раскрыт по первой строке):

, значит, векторы линейно зависимы и не образуют базиса трёхмерного пространства.
Ответ: данные векторы не образуют базиса

Пример 9:Решение:Вычислим определитель, составленный из координат векторов :

Таким образом, векторы линейно независимы и образуют базис.
Представим вектор в виде линейной комбинации базисных векторов:

Покоординатно:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: Векторы образуют базис,

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов. Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов, требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение, даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы, а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

Для векторов можно определить понятия линейной комбинации, линейной зависимости и независимости аналогично тому, как эти понятия были введены для строк матрицы. Также справедливо, что если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них можно линейно выразить через остальные (т.е. он является их линейной комбинацией). Верно и обратное утверждение: если один из векторов является линейной комбинацией остальных, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Отметим, что если среди векторов a_l, a₂. a_m есть нулевой вектор, то эта совокупность векторов обязательно линейно зависима. В самом деле, мы получим l_la_l + l₂a₂ +. + l_ma_m = 0, если, например, приравняем коэффициент l_j при нулевом векторе к единице, а все остальные коэффициенты – к нулю. При этом не все коэффициенты будут равны нулю (l_j ≠ 0).

Кроме того, если какая-то часть векторов из совокупности векторов линейно зависимы, то и все эти вектора - линейно зависимы. В самом деле, если какие-то вектора дают нулевой вектор в своей линейной комбинации с коэффициентами, которые не являются одновременно нулевыми, то к этой сумме произведений можно добавить остальные вектора, умноженные на нулевые коэффициенты, и она по-прежнему будет нулевым вектором.

Как определить, являются ли вектора линейно зависимыми?

Например, возьмем три вектора: а₁ = (1, 0, 1, 5), а₂ = (2, 1, 3, -2) и
а₃ = (3, 1, 4, 3). Составим из них матрицу, в которой они будут являться столбцами:

Тогда вопрос о линейной зависимости сведется к определению ранга этой матрицы. Если он окажется равным трем, то все три столбца – линейно независимы, а если окажется меньше, то это будет говорить о линейной зависимости векторов.

Так как ранг равен 2, вектора линейно зависимы.

Отметим, что решение задачи можно было бы начать и с рассуждений, которые основаны на определении линейной независимости. А именно, составить векторное уравнение l_la_l + l₂a₂ + l₃a₃ = 0, которое примет вид l_l*(1, 0, 1, 5) + l₂*(2, 1, 3, -2) + l₃*(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Тогда мы получим систему уравнений:

Решение этой системы методом Гаусса сведется к получению той же самой ступенчатой матрицы, только в ней будет еще один столбец – свободных членов. Они все будут равны нулю, так как линейные преобразования нулей не могут привести к другому результату. Преобразованная система уравнений примет вид:

Решением этой системы будет (-с;-с; с), где с – произвольное число; например, (-1;-1;1). Это означает, что если взять l_l = -1; l₂ =-1 и l₃ = 1, то
l_la_l + l₂a₂ + l₃a₃ = 0, т.е. вектора на самом деле линейно зависимы.

Из решенного примера становится ясно, что если взять число векторов больше, чем размерность пространства, то они обязательно будут линейно зависимы. В самом деле, если бы в этом примере мы взяли пять векторов, то получили бы матрицу 4 х 5, ранг которой не мог бы оказаться больше четырех. Т.е. максимальное число линейно независимых столбцов все равно не было бы больше четырех. Два, три или четыре четырехмерных вектора могут оказаться линейно независимыми, а пять и больше – не могут. Следовательно, на плоскости могут оказаться линейно независимыми не более двух векторов. Любые три вектора в двумерном пространстве – линейно зависимы. В трехмерном пространстве любые четыре (или более) вектора – всегда линейно зависимы. И т.п.

Поэтому размерность пространства можно определить, как максимальное число линейно независимых векторов, которые могут в нем быть.

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называют базисом этого пространства.

Теорема. Каждый вектор линейного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса, и притом единственным способом.

Доказательство. Пусть векторы e_l, e₂. e_n образуют базис n-мерного пространства R. Докажем, что любой вектор Х является линейной комбинацией этих векторов. Поскольку вместе с вектором Х число векторов станет (n +1), эти (n +1) векторов будут линейно зависимы, т.е. существуют числа l_l, l₂. l_n, l, не равные одновременно нулю, такие
что

При этом l ¹ 0, т.к. в противном случае мы получили бы
l_le_l + l₂e₂ +. + l_ne_n = 0, где не все коэффициенты l_l, l₂. l_n равны нулю. Это означает, что векторы базиса оказались бы линейно зависимы. Следовательно, можно разделить обе части первого уравнения на l:

Теперь докажем, что такое представление в виде линейной комбинации является единственным. Предположим противное, т.е. что существует другое представление:

Вычтем из него почленно полученное ранее выражение:

Так как векторы базиса линейно независимы, получим, что
(y_j - х_j) = 0, , т.е. y_j = х_j. Итак, выражение оказалось тем же самым. Теорема доказана.

Выражение Х = x_le_l + x₂e₂ +. + x_ne_n называют разложением вектора Х по базису e_l, e₂. e_n, а числа х_l, х₂. х_n - координатами вектора х относительно этого базиса, или в этом базисе.

Можно доказать, что если n ненулевых векторов n-мерного евклидова пространства попарно ортогональны, то они образуют базис. В самом деле, умножим обе части равенства l_le_l + l₂e₂ +. + l_ne_n = 0 на любой вектор е_i. Получим l_l (e_l*е_i) + l₂(e₂*е_i) +. + l_n(e_n*е_i) = 0 Þ l_i(e_i*е_i) = 0 Þ l_i = 0 для " i.

Векторы e_l, e₂. e_n n-мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е. если е_i*e_j = 0 при i ≠ j и |е_i| = 1
для " i.

Теорема (без доказательства). Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Примером ортонормированного базиса является система n единичных векторов е_i, у которых i-я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю. Каждый такой вектор называется орт. Например, вектора-орты (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1) образуют базис трехмерного пространства.

Число называется -ой компонентой вектора, – номер компоненты.

Само арифметическое пространство в вещественном случае далее будем обозначать , а в комплексном – .

Два вектора арифметического пространства считаются равными в том и только в том случае, если равны их соответствующие компоненты. Действия сложения и умножения на число определяются покомпонентно:

– сложение по правилу

– умножение вектора на число по правилу

Противоположным вектором для вектора является вектор . Роль нулевого вектора играет вектор, все компоненты которого равны нулю, т.е.

– нулевой вектор. (2.1.4)

Арифметическое пространство может быть построено также и на основе вектор-строки:

Для вектор-строки соответствующие операции определяются аналогично.

Линейной комбинацией векторов, , …, будем называть сумму произведений этих элементов на произвольные вещественные числа, т.е. выражение вида

где – произвольные числа.

В частности, на основании (2.1.6) для пары векторов ,(при и ) можем определить операцию вычитания векторов:

Линейно зависимыми векторами, , …, называются векторы, для которых найдутся такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, при этом линейная комбинация векторов , , …, с указанными числами является нулевым вектором, т.е.:

Линейно независимыми векторами, , …, называются векторы, если их линейная комбинация (2.1.6) является нулевым вектором лишь при условии .

Сформулируем без доказательства ряд утверждений.

1. Для того, чтобы векторы , , …, были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных элементов.

2. Если среди векторов , , …, имеется нулевой вектор, то эти элементы линейно зависимы.

Единичным вектором в называется вектор , i-ая компонента которого равна единице, остальные нули, т.е.

Базисомпространства () называется совокупность линейно независимых векторов , , …, пространства (), если для каждого вектора пространства найдутся вещественные (комплексные) числа такие, что справедливо равенство

Например, единичных векторов , , …, образуют базис в .

Равенство (2.1.10) называется разложением вектора по базису , , …, , а числа называются коэффициентами этого разложения. Каждый вектор пространства () может быть разложен по базису , , …, единственным способом, т.е. коэффициенты разложения каждого вектора по базису , , …, определяется однозначно.

Читайте также: